CHAPTER 11
Varian Dan Standar Deviasi
(Simpangan Baku)
Varian dan standar deviasi (simpangan baku) adalah ukuran-ukuran keragaman
(variasi) data statistik yang paling sering digunakan. Standar deviasi (simpangan baku) merupakan akarkuadrat dari varian.
Jadi
jika salah satu nilai dari kedua ukuran tersebut diketahui maka akan diketahui
juga nilai ukuran yang lain.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Penghitungan
Dasar penghitungan varian dan standar deviasi adalah keinginan untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data. Salah satu cara untuk mengetahui keragaman suatu kelompok data adalah dengan mengurangi setiap nilai data dengan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian semua hasilnya dijumlahkan.
Namun cara seperti itu tidak bisa digunakan karena hasilnya akan selalu menjadi 0.
Oleh karena itu, solusi agar nilainya tidak menjadi 0 adalah dengan mengkuadratkan setiap pengurangan nilai data dan rata-rata kelompok data tersebut, kemudian dilakukan penjumlahan. Hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) tersebut akan selalu bernilai positif.
Nilai varian diperoleh dari pembagian hasil penjumlahan kuadrat (sum of squares) dengan ukuran data (n).
Namun
begitu, dalam penerapannya, nilai varian tersebut bias untuk menduga varian
populasi. Dengan menggunakan rumus tersebut, nilai varian populasi lebih
besar dari varian sampel.
Oleh
karena itu, agar tidak bias dalam menduga varian populasi, maka n
sebagai pembagi penjumlahan kuadrat (sum of squares) diganti dengan n-1
(derajat bebas) agar nilainya menjadi lebih besar dan mendekati varian
populasi. Oleh karena itu rumus varian menjadi :
Nilai
varian yang dihasilkan merupakan nilai yang berbentuk kuadrat. Jika satuan
nilai rata-rata adalah gram, maka nilai varian adalah gram kuadrat. Untuk
menyeragamkan nilai satuannya maka varian diakarkuadratkan sehingga hasilnya
adalah standar deviasi (simpangan baku).
Untuk
mempermudah penghitungan, rumus varian dan standar deviasi (simpangan baku)
tersebut bisa diturunkan :
Rumus
varian :
Rumus standar deviasi (simpangan baku) :
Contoh
Penghitungan
Misalkan
dalam suatu kelas, tinggi badan beberapa orang siswa yang dijadikan sampel
adalah sebagai berikut.
172, 167, 180,170, 169, 160, 175,
165, 173, 170
Dari
data tersebut dapat dihitung varian dengan menggunakan rumus varian di atas.
Dari penghitungan, diperoleh nilai varian sama dengan 30,22.
Dari nilai tersebut bisa langsung diperoleh nilai standar deviasi (simpangan baku) dengan cara mengakarkuadratkan nilai varian.
Keterangan:
s2 = varian
s = standar deviasi (simpangan baku)
xi = nilai x ke-i
n = ukuran sampel
Dispersi (Ukuran Penyebaran Data)
Dispersi / Ukuran penyebaran Data adalah suatu ukuran baik parameter atau
statistika untuk mengetahui seberapa besar penyimpangan data. Melalui ukuran penyebaran
dapat diketahui seberapa jauh data-data menyebar dari titik pemusatannya/ suatu
kelompok data terhadap pusat data.Ukuran ini kadang – kadang dinamakan pula
ukuran variasi yang mnggambarkan berpencarnya data kuantitatif. Beberapa ukuran
dispersi yang terkenal dan akan diuraikan disini ialah : Rentang, Rentang natar
kuartil, simpangan kuartil/deviasi kuartil, rata-rata simpangan/rata-rata
deviasi, simpangan baku atau standar deviasi, variansi dan koefisien variansi,
jangkauan kuartil, dan jangkauan persentil.
Rentang (range)
Rentang
(Range) dinotasikan sebagai R, menyatakan ukuran yang menunjukkan selisih nilai
antara maksimum dan minimum atau selisih bilangan terbesar dengan bilangan
terkecil.
Rentang
merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan
dengan bilangan terbesar dan terkecil.Semakin kecil nilai R maka kualitas data
akan semakin baik, sebaliknya semakin besar nilai R, maka kualitasnya semakin
tidak baik.
Rentang cukup baik digunakan untuk
mengukur penyebaran data yang simetrik dan nilai datanya menyebar merata.
Ukuran ini menjadi tidak relevan jika nilai data maksimum dan minimumnya
merupakan nilai ekstrim.
Rentang
= Xmax – Xmin,
Xmax
adalah data terbesar dan Xmin adalah data terkecil.
Deviasi
Rata-rata : penyebaran
Berdasarkan harga mutlak simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya.
Makin besar simpangan, makin besar nilai deviasi rata-rata.
Varians : penyebaran berdasarkan jumlah
kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan
sekelompok data
Deviasi
Standar :
penyebaran berdasarkan akar dari varians dan menunjukkan keragaman kelompok
data
Pengolahan Data Secara Manual
Mengolah data dengan perhitungan manual. Berikut ini akan
kami berikan satu contoh data mentah atau data belum dikelompokkan agar bisa
kita pahami bersama. Data sekunder ini kami dapatkan dari Buku Statistika
yang berjudul Analisis Statistika karya Purbayu Budi Santosa. Dalam
bukunya Diketahui data mentahnya sebagai
berikut:
Contoh
berikut adalah data penjualan komputer per- 10 bulan pada tahun 2010 di
toko komputer KOMPISHOP
Tabel II.1 Penjualan Komputer per- 10 bulan
63
|
68
|
71
|
74
|
76
|
78
|
81
|
84
|
85
|
89
|
66
|
70
|
73
|
75
|
76
|
79
|
82
|
84
|
85
|
90
|
67
|
71
|
73
|
75
|
76
|
79
|
82
|
85
|
86
|
92
|
68
|
71
|
74
|
75
|
77
|
79
|
84
|
85
|
86
|
94
|
Simpangan rata- rata
1) Simpangan rata-rata data tunggal
Simpangan
rata-rata data tunggal dirumuskan sebagai berikut.
X = 78,2
SR = 1 /40 ∑|63-78,2| + |66 – 78,2| + |67-78,2| +2 |68 – 78,2| + |70 – 78,2
| + 3 |71 -78,2|
+ 2 | 73 -78,2 | + 2
|74 – 78,2| + 3 |75 -78,2| + 3 |76- 78,2| + |77 – 78,2 | + |78-78,2|
+ 3 |79 – 78,2| +
|81 – 78,2| + 2 |82 – 78,2| + 3 84-78,2| + 4 |85- 78,2| + 2 |86-78,2|
+ |89-78,2| +
|90-78,2| + |92-78,2| + |94-78,2|
SR = 1/40∑ |-15,2| + |-12,2| + |-11,2| + 2 |-10,2| + |-8,2| + 3 |
-7,2| + 2 |-5,2|+ 2|-4,2| + 3 |
-3,2| +3 |-2,2| + |-1,2| + |-0,2| + 3 |0,8| +|2,8| + 2 |3,8| + 3 |5,8| + 4
|6,8| + 2 |
7,8| + |10,8| + |11,8| + | 13,8| + |15,8|
SR =1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 2 (10,2) + 8,2 + 3 (7,2) + 2
(5,2)+ 2(4,2) + 3(3,2) +
3 (2,2) + 1,2 + 0,2 + 3 (0,8) +2,8 + 2 (3,8) + 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) +
10,8
+ 11,8 + 13,8 + 15,
SR = 1/40 ∑ 15,2 +12,2 + 11,2 + 20,4 + 8,2 + 21,6 + 10,4+ 8,4 + 9,6
+6,6 + 1,2 + 0,2 + 2,4+2,8 + 7,6 + 17,4 + 27,2 + 15,6 + 10,8
+ 11,8 + 13,8 + 15,8
SR = 1/40 x 250,4
SR = 6,26
VARIANS
Keterangan:
Keterangan :
: data ke-I, : rata-rata, s²: ragam n :
ukuran sampel
sampel
= 1/40-1 ∑ (-15,2) +(-12,2) +
(-11,2 ) + 2 (-10,2) +(- 8,2 ) + 3 (-7,2) + 2
(-5,2) + 2(-4,2) + 3(-3,2) + 3
(-2,2) + (-1,2) + (-0,2) + 3 (0,8) +(2,8) + 2 (3,8) + 3 (5,8) + 4 (6,8) + 2(7,8) + (10,8) + (11,8) + (13,8) +( 15,8)
s = 1/39 X 231,04 + 148,84 +
125,44 + 2(104,04) + 67,24 + 3(51,84) + 2(27,04) + 2(17,64) + 3(10,24) +
3(4,84) + 1,44 + 0,04 + 3(0,64) + 7,84 + 2(14,44) + 3(33,64) + 4(46,24) +
2(60,84) + 116,64 + 139,24 + 190,44 + 249,64
S= 1/39 X 231,04 + 148,84 + 125,44 +
208,08 + 67,24 + 155,52 + 54,08 + 35,28 + 30,72 + 14,52 + 1,44 + 0,04 + 1,92 +
7,84 + 28,88 + 100,92 + 184,96 + 121,68 + 116,64 + 139,24 + 190,44 + 249,64
S = 1/39 (2214,4)
S = 56,7794
SIMPANGAN BAKU
S = 
= 7,53
= 7,53
Jangkauan kuartil
Disebut juga Simpangan kuartil /
rentang semi antar kuartil / deviasi kuartil yaitu setengah dari selisih antara
kuartil atas (Q3) dengan kuartil bawah (Q1).
Dengan Rumus :
JK = ½ (Q3 – Q1)
Keterangan
:
Q1
= Kuartil pertama
Q3 = Kuartil ketiga
Qi = i
( n + 1 ) /4
Q1
= 1 ( 40 + 1 ) /4
= 1 ( 41) /4
= 41 / 4
=
10,25
X10 + 0,25 ( X11 – X10 )
73 + 0,25 ( 73 – 73 )
73 + 0,25 ( 0 ) = 73
Q3 = 3 (40 + 1) /4
= 3(41) / 4
= 30,,75
X30+0,75
(X31-X30)
84 + 0,75 ( 85
– 84 )
84 + 0,75 (1)
84,75
Jk = ½ ( 84,75 – 73 )
= ½ (11,75)
= 5,875
Rupiah Exchange Rate
No comments:
Post a Comment